Leçons de géométrie analytique à deux et à trois dimensions

Ce qu’il vous attend en ouvrant ce chef-d’œuvre de Ch. Roguet : la clé pour dompter la géométrie tridimensionnelle et acquérir l’esprit des plus grands mathématiciens du XIXe siècle.

• La maîtrise instantanée des repères cartésiens : vous débloquerez une compréhension fulgurante du calcul algébrique appliqué aux figures planes et spatiales (et la méthode oubliée pour visualiser l’espace sans effort).

• La simplification radicale des systèmes à trois variables : vous dompterez l’équation générale du second degré sans vous noyer dans des formules lourdes (grâce à un processus d’analyse d’une élégance redoutable révélé page après page).

• La résolution sans faillir des problèmes tridimensionnels les plus exigeants : vous développerez une précision mathématique chirurgicale indispensable en ingénierie (le secret que Dalmont et Dunod publiaient déjà en 1860 pour surclasser les théoriciens de l’époque).

• La modélisation exacte des surfaces coniques et cylindriques : vous découvrirez comment déterminer leur équation générale au millimètre près (une méthode d’une clarté déconcertante qui transforme les formes complexes en simples jeux d’enfants).

• Le décodage ultime des surfaces de révolution et des conoïdes : vous percerez à jour les propriétés géométriques cachées qui régissent ces volumes spécifiques (et l’avantage théorique majeur que cela vous donne sur n’importe quel calcul d’ingénierie moderne).

• L’assimilation complète de 502 pages de savoir pur : vous élèverez votre niveau de rigueur au rang d’expert en géométrie analytique (le fameux « électrochoc » intellectuel garanti par le traité original de Roguet).

Envoi soigné et déposé en 48 h (jours ouvrables) Nom de l’éditeur : Dalmont et Dunod | Dimensions : 14 x 22 x 3,5 cm | Nombre de pages : 502 | Date d’édition : 1860 Couverture cartonnée usée sur les bords, pages avec rousseurs état : Bon

Simplifiez l’équation générale des surfaces du second degré sans formule lourde et gagnez une clarté mathématique que vos calculs d’ingénierie réclament

Sommaire

Explorez les principes fondamentaux du calcul spatial

Plongez d’abord dans l’analyse des figures géométriques planes et dans l’espace. Vous appréhenderez rapidement la puissance du calcul algébrique appliqué aux formes. Cette méthode rigoureuse vous offre une compréhension claire des repères cartésiens.

Simplifiez l’analyse théorique des surfaces du second degré

Après avoir posé les bases de l’espace, attaquez la réduction de l’équation générale à trois variables. Ce processus analytique rend accessible la simplification des systèmes complexes sans formule lourde. Vous résoudrez ainsi aisément les problèmes tridimensionnels les plus exigeants.

Maîtrisez la représentation des surfaces coniques et cylindriques

Cela permet ensuite de déterminer l’équation générale propre aux cônes et aux cylindres. Observez la modélisation exacte de ces formes fondamentales. Vous développerez une précision mathématique indispensable pour les calculs d’ingénierie avancés.

Assimilez la dynamique des surfaces de révolution et conoïdes

Enfin, l’étude se conclut par l’examen approfondi des surfaces conoïdes et de révolution. Analysez les propriétés géométriques régissant ces volumes spécifiques. Décryptez le comportement de ces structures dans des applications théoriques concrètes.

–Caractéristiques–

• Titre : Leçons de géométrie analytique à deux et à trois dimensions

• Auteur : Ch. Roguet

• Éditeur : Dalmont et Dunod

• Dépôt légal : 1860

• Nombre de pages : 502

• Dimensions : 14 x 22 x 3,5 cm

• EAN / Code : 9781273321726

• Thématique : Mathématiques anciennes / Géométrie analytique

Ch. Roguet

Envoi soigné et déposé en 48 h (jours ouvrables) Nom de l’éditeur : Dalmont et Dunod | Dimensions : 14 x 22 x 3,5 cm | Nombre de pages : 502 | Date d’édition : 1860 Couverture cartonnée usée sur les bords, pages avec rousseurs état : Bon

Résumé

Maîtrisez la géométrie analytique dans l’espace avec l’ouvrage de référence de Ch. Roguet

Plongez au cœur des mathématiques classiques et domptez enfin la complexité des surfaces en trois dimensions. Que vous soyez passionné d’histoire des sciences, étudiant en mathématiques ou enseignant à la recherche d’une approche rigoureuse, cet ouvrage fondamental vous guide pas à pas dans l’analyse des formes géométriques les plus fascinantes.

Pourquoi lire ce livre ?

• Approfondissez la théorie des surfaces du second degré : Assimilez la discussion des équations à trois variables et maîtrisez leurs propriétés fondamentales sans jamais vous perdre dans des calculs superflus.

• Simplifiez des équations complexes : Découvrez la méthode élégante pour réduire l’équation générale $x, y, z$ à sa forme la plus simple, affranchie des formules lourdes de transformation de coordonnées.

• Comprenez la structure des cônes et cylindres : Déterminez facilement l’équation générale des surfaces coniques et cylindriques grâce à une démonstration claire et méthodique.

• Explorez la géométrie des surfaces de révolution et conoïdes : Visualisez la création des volumes dans l’espace et développez une intuition géométrique solide pour aborder les problèmes d’analyse spatiale les plus exigeants.

Table des matières

INTRODUCTION

Notions sur quelques courbes usuelles

• Définition de l’ellipse, par la propriété des foyers. — Tracé de la courbe par points ou d’un mouvement continu. — Axes. — Sommets. — Centre. — Rayons vecteurs … 1

• Définition générale de la tangente à une courbe … 8

• Les rayons vecteurs menés par les foyers à un point de l’ellipse font, avec la tangente en ce point et d’un même côté de cette ligne, des angles égaux … 9

• Mener la tangente à l’ellipse : 1° par un point pris sur la courbe ; 2° par un point extérieur. — Normale à l’ellipse … 12

• Définition de la parabole, par la propriété du foyer et de la directrice. — Tracé de la courbe par points ou d’un mouvement continu. — Axe. — Sommet. — Rayon vecteur … 16

• La tangente fait des angles égaux avec la parallèle à l’axe et le rayon vecteur, menés par le point de contact … 19

• Mener la tangente à la parabole : 1° par un point pris sur la courbe ; 2° par un point extérieur. — Normale. — Sous-normale … 22

• Le carré d’une corde perpendiculaire à l’axe est proportionnel à la distance de cette corde au sommet … 26

• Définition de l’hélice considérée comme résultant de l’enroulement du plan d’un triangle rectangle sur un cylindre droit à base circulaire … 27

• La tangente à l’hélice fait avec l’arête du cylindre un angle constant … 31

• Construire la projection de l’hélice et de la tangente sur un plan perpendiculaire à la base du cylindre … 34

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS

Chapitre I — Des équations et des formules de la géométrie

• Loi de l’homogénéité … 37

• Construction des expressions algébriques … 42

Chapitre II — Des coordonnées rectilignes

• Détermination d’un point sur un plan, par le moyen de ses coordonnées rectilignes … 49

• Représentation des lieux géométriques par des équations … 51

• Transformation des coordonnées rectilignes … 59

Chapitre III — Des équations du premier degré à deux variables

• Construction des équations du premier degré … 67

• Problèmes sur la ligne droite … 76

• Équation de la référence de cercle … 88

• Tangente à la référence … 91

Chapitre IV — Des équations du second degré à deux variables

• Construction des équations du second degré. — Division en trois genres des courbes qu’elles représentent … 101

• Du centre, des diamètres et des axes dans les courbes du second degré … 134

• Réduction de l’équation du second degré à la forme la plus simple par le changement des coordonnées … 142

Chapitre V — Des tangentes et des asymptotes

• Le coefficient d’inclinaison, sur l’axe des abscisses, de la tangente à une courbe, est égal à la dérivée de l’ordonnée par rapport à l’abscisse … 150

• Recherche des asymptotes rectilignes des courbes. — Application aux courbes du second degré … 155

Chapitre VI — De l’ellipse

• • • • • Partie 1

• Équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes. — Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’un des axes sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sur cet axe … 166

• Les ordonnées perpendiculaires au grand axe sont aux ordonnées correspondantes du cercle décrit sur cet axe, comme diamètre, dans le rapport constant du petit axe au grand. — Construction de la courbe par points, au moyen de cette propriété … 170

• Foyers, excentricité de l’ellipse. — La somme des rayons vecteurs menés à un point quelconque de l’ellipse est constante et égale au grand axe. — Description de l’ellipse au moyen de cette propriété … 174

• Directrices. — Les distances de chaque point de l’ellipse à l’un des foyers et à la directrice voisine de ce foyer sont entre elles comme la distance des foyers est au grand axe … 179

• Équation de la tangente et de la normale en un point de l’ellipse. — Le point, où la tangente rencontre un des axes prolongés, est indépendant de la grandeur de l’autre axe. — Construction de la tangente en un point de l’ellipse, au moyen de cette propriété … 181

1Partie 2

• Les rayons vecteurs, menés des foyers à un point de l’ellipse, font avec la tangente en ce point, et d’un même côté de cette ligne, des angles égaux. — La normale divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs. — Cette propriété peut servir à mener une tangente à l’ellipse par un point pris sur la courbe ou par un point extérieur … 183

• Diamètres. — Les cordes, qu’un diamètre divise en deux parties égales, sont parallèles à la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre … 192

• Cordes supplémentaires. — On peut, au moyen des cordes supplémentaires, mener une tangente à l’ellipse, par un point donné sur la courbe, ou parallèlement à une droite donnée … 194

• Diamètres conjugués … 196

• Deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à deux cordes supplémentaires et réciproquement. — Limites de l’angle de deux diamètres conjugués … 198

• Il y a toujours dans une ellipse deux diamètres conjugués égaux entre eux … 201

• La somme des carrés de deux diamètres conjugués est constante. — L’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante … 202

• Construire une ellipse, connaissant deux diamètres conjugués et l’angle qu’ils font entre eux … 203

• Expression de l’aire de l’ellipse, en fonction des longueurs de ses axes … 209

Chapitre VII — De l’hyperbole

• Équation de l’hyperbole rapportée à son centre et à ses axes. — Rapport des carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe transverse … 225

• Foyers et directrices ; tangente et normale ; diamètres ; diamètres conjugués et cordes supplémentaires. Ce qu’on nomme longueur d’un diamètre qui ne rencontre pas l’hyperbole. — Les propriétés de ces points et de ces lignes sont analogues dans l’hyperbole et dans l’ellipse … 229

• Asymptotes de l’hyperbole. — Les asymptotes coïncident avec les diagonales du parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués quelconques. — Les portions d’une sécante ou d’une tangente, comprises entre l’hyperbole et ses asymptotes, sont égales entre elles. — Application à la construction de la tangente … 251

• Le rectangle des parties d’une sécante, comprises entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré de la moitié du diamètre auquel la sécante est parallèle … 254

• Forme de l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes … 255

Chapitre VIII — De la parabole

• Équation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. — Rapport des carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe … 261

• Foyer et directrice de la parabole. — Chacun des points de la courbe est également éloigné du foyer et de la directrice. — Construction de la parabole … 263

• La parabole peut être considérée comme la limite d’une ellipse dans laquelle le grand axe augmente indéfiniment, tandis que la distance du foyer au sommet voisin reste constante … 269

• Tangente et normale. — Sous-tangente et sous-normale. Elles fournissent des moyens de mener la tangente en un point de la courbe … 271

• La tangente fait des angles égaux avec l’axe et avec le rayon vecteur mené au point de contact. — Mener, au moyen de cette propriété, une tangente à la parabole : 1° par un point situé sur la courbe ; 2° par un point extérieur … 273

• Diamètres. — Les cordes qu’un diamètre divise en deux parties égales sont parallèles à la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre … 280

• Expression de l’aire d’un segment parabolique … 282

Chapitre IX — Des coordonnées polaires

• Passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées polaires, et réciproquement … 285

• Équations des trois courbes du second degré, en coordonnées polaires, le pôle étant situé à un foyer et les angles étant comptés à partir de l’axe qui passe par ce foyer … 280

Chapitre X — Des lignes courbes en général

• Discussion de quelques courbes algébriques et transcendantes. — Détermination de la tangente en un de leurs points. — Asymptotes des branches infinies … 301

• Construction des racines réelles des équations de forme quelconque à une inconnue … 317

Chapitre XI — Intersection de deux courbes du second degré

• Du nombre de conditions nécessaires pour la détermination d’une courbe du second degré … 326

• Calculer les coordonnées des points communs à deux courbes du second degré. — Étant données les équations de deux courbes du second degré, trouver l’équation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points d’intersection des deux premières. Disposer de l’indéterminée que renferme cette équation, de manière qu’elle puisse se décomposer en deux facteurs du premier degré … 328

Chapitre XII — Des sections coniques et cylindriques

• Étude des sections planes du cône et du cylindre droit à base circulaire. — Section anti-parallèle du cône et du cylindre oblique à base circulaire … 332

Appendice à la géométrie analytique à deux dimensions

• Du pôle et de la polaire d’un point par rapport à une conique … 344

• Hexagone de Pascal … 350

• Du nombre de conditions nécessaires pour la détermination d’une courbe d’une espèce donnée … 352

• Expressions analytiques des diverses conditions, auxquelles une courbe du second degré peut être assujettie … 353

• Lieux géométriques relatifs aux courbes du second degré assujetties à quatre conditions … 355

• Détermination de la conique qui passe par cinq points, ou qui est tangente à cinq droites données … 358

• De la similitude … 360

• Note sur les équations du troisième degré à deux variables … 363

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS

Chapitre I — Théorie des projections

• La somme des projections de plusieurs droites consécutives sur un axe est égale à la projection de la ligne résultante … 367

• Trouver l’angle de deux droites, connaissant les angles qu’elles font avec trois axes rectangulaires … 370

• La somme des carrés des projections d’une droite sur trois axes rectangulaires est égale au carré de cette droite. — La somme des carrés des cosinus des angles qu’une droite fait avec trois droites rectangulaires est égale à l’unité … 371

• La projection d’une aire plane sur un plan est égale au produit de cette aire par le cosinus de l’angle des deux plans … 373

Chapitre II — Des coordonnées rectilignes

• Représentation d’un point par ses coordonnées. — Équations des lignes et des surfaces … 375

• Transformation des coordonnées rectilignes … 379

Chapitre III — De la ligne droite et du plan

• Équations de la ligne droite. — Équation du plan. — Toute équation du premier degré à trois variables représente un plan … 387

• Trouver les équations d’une droite : 1° qui passe par deux points donnés ; 2° qui passe par un point donné et qui soit parallèle à une droite donnée … 389

• Déterminer le point d’intersection de deux droites dont on connaît les équations … 392

• Faire passer un plan : 1° par trois points donnés ; 2° par un point donné, parallèlement à un plan donné ; 3° par un point et par une droite donnés … 392

• Connaissant les équations de deux plans, trouver les projections de leur intersection … 396

• Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan dont on connaît les équations … 397

• Connaissant les coordonnées de deux points, trouver leur distance … 398

• D’un point donné abaisser une perpendiculaire sur un plan ; trouver le pied et la grandeur de la perpendiculaire (coordonnées rectangulaires) … 400

• Mener, par un point donné, un plan perpendiculaire à une droite donnée (coordonnées rectangulaires) … 402

• Mener, par un point donné, une perpendiculaire à une droite donnée ; déterminer le pied et la grandeur de cette perpendiculaire (coordonnées rectangulaires) … 403

• Connaissant les équations d’une droite, déterminer les angles de cette droite avec les axes des coordonnées (coordonnées rectangulaires) … 404

• Trouver l’angle de deux droites dont en connaît les équations (coordonnées rectangulaires) … 406

• Connaissant l’équation d’un plan, trouver les angles qu’il fait avec les plans coordonnés (coordonnées rectangulaires) … 407

• Déterminer l’angle de deux plans (coordonnées rectangulaires) … 408

• Trouver l’angle d’une droite et d’un plan (coordonnées rectangulaires) … 409

Chapitre IV — Surfaces du second degré

• • • • • Partie 1

• Elles se divisent en deux classes : les unes ont un centre, les autres n’en ont pas. Coordonnées du centre … 411

• Des plans diamétraux … 416

• Simplification de l’équation générale du second degré par la transformation des coordonnées … 421

• Équations les plus simples de l’ellipsoïde, des hyperboloïdes à une et à deux nappes, des paraboloïdes elliptique et hyperbolique, des cônes et des cylindres du second degré … 425

• Nature des sections planes des surfaces du second degré … 439

• Cône asymptote d’un hyperboloïde … 443

1Partie 2

• Sections rectilignes de l’hyperboloïde à une nappe

On peut, sur la surface de l’hyperboloïde à une nappe, tracer deux droites par chacun de ses points ; d’où résultent deux systèmes de génératrices rectilignes de l’hyperboloïde.

• • Deux droites prises dans un même système ne se rencontrent pas, et deux droites de systèmes différents se rencontrent toujours.

  • Toutes les droites situées sur l’hyperboloïde étant transportées au centre, parallèlement à elles-mêmes, s’appliquent exactement sur le cône asymptote.

  • Trois droites d’un même système ne sont jamais parallèles à un même plan.

  • L’hyperboloïde à une nappe peut être engendré par une droite qui se meut en s’appuyant sur trois droites fixes, non parallèles à un même plan ; et, réciproquement, lorsqu’une ligne droite glisse sur trois droites fixes, non parallèles à un même plan, elle engendre un hyperboloïde à une nappe.
    … 446

• Sections rectilignes du paraboloïde hyperbolique

On peut, sur la surface du paraboloïde hyperbolique, tracer deux droites par chacun de ses points ; d’où résulte la génération du paraboloïde par deux systèmes de droites.

• • Deux droites d’un même système ne se rencontrent pas, mais deux droites de systèmes différents se rencontrent toujours.

  • Toutes les droites d’un même système sont parallèles à un même plan.

  • Le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par le mouvement d’une droite qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan ; ou bien par une droite qui glisse sur deux droites fixes, en restant toujours parallèle à un plan donné.

  • Réciproquement, toute surface résultant de l’un de ces deux modes de génération est un paraboloïde hyperbolique.
    … 455

CHAPITRE V

COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

• Discussion d’une équation du second degré à trois variables… 466

• Réduction de l’équation générale du second degré à trois variables $x, y, z$ à la forme la plus simple, sans employer les formules de la transformation des coordonnées… 479

CHAPITRE VI

DES SURFACES CONIQUES ET CYLINDRIQUES

• Trouver l’équation générale des surfaces coniques et des surfaces cylindriques… 493

CHAPITRE VII

SURFACES DE RÉVOLUTION. — SURFACES CONOÏDES

• Surfaces de révolution… 500

• Surfaces conoïdes… 501